iPhone版でバックアップと復元のメニューがありません。

iPhone版のブックマークアプリはApple標準のバックアップと復元に対応しています。

なので、以下のApple標準の手順でバックアップと復元を行うとデータが引き継がれます。

[iPhone、iPad、iPod touch をバックアップする方法]
https://support.apple.com/ja-jp/HT203977

また、

以下の手順でiCloudバックアップの対象にブックマークアプリが含まれているか確認することができます。

[iCloudにバックアップするアプリ・データを設定（オン/オフ）]
https://pc-karuma.net/iphone-ipad-icloud-back-up-app-data/

けっこう分かりにくい場所にON/OFFを見る欄があります。
「iCloudを使用しているAPP」とは別なので注意が必要です。