iPhone版でバックアップと復元のメニューがありません。

iPhone版の画面メモアプリはApple標準のバックアップと復元に対応しています。なので、以下のApple標準の手順でバックアップと復元を行うとデータが引き継がれます。

[iPhone、iPad、iPod touch をバックアップする方法]
https://support.apple.com/ja-jp/HT203977